Question

已知函數f_n（x）=a_nx³+b_nx²+c_nx，滿足

an+1

an

=

bn+1

bn

=

cn+1

cn

=q（q＞1，q為常數），n∈N^*，給出下列說法；
①函數f_n（x）可以為奇函數；
②若函數f₁（x）在R上單調遞增，則對于任意正整數n，函數f_n（x）都在R上單調遞增；
③若x₀是函數f_n（x）的極值點，則x₀也是函數f_n+1（x）的極值點；
④若b₁²＞3a₁c₁，則對于任意正整數n函數f_n（x）在R上一定有極值．
以上說法中所有正確的序號是（　　）

• A、①②③④
• B、②③
• C、②③④
• D、②④

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,函數奇偶性的判斷

專題：計算題,導數的綜合應用,等差數列與等比數列

分析：①利用奇函數的定義，可以判斷；
②根據函數f₁（x）在R上單調遞增，可得f₁′（x）=3a₁x²+2b₁x+c₁＞0在R上恒成立，可得a₁＞0，△＜0，再由等比數列的定義，即可判斷；
③利用極值的定義，結合等比數列的條件，可得結論；
④求出f_n′（x）=0，若b₁²＞3a₁c₁，則由條件可得4b_n²-12a_nc_n＞0，則方程有兩個不等的實數根，且在其左右附近導數的符號改變．

解答： 解：對于①，f_n（x）+f_n（-x）=a_nx³+b_nx²+c_nx-a_nx³+b_nx²-c_nx
=2b_nx²≠0，
∴函數f_n（x）不是奇函數，則①錯；
②f₁（x）=a₁x³+b₁x²+c₁x，
則∵函數f₁（x）在R上單調遞增，
∴f₁′（x）=3a₁x²+2b₁x+c₁＞0在R上恒成立，
∴a₁＞0，△＜0，
由于

an+1

an

=

bn+1

bn

=

cn+1

cn

=q（q＞1，q為常數），n∈N^*，
則a_n＞0，b_n＞0，c_n＞0，且4b_n²-12a_nc_n＜0，
由于f_n（x）=a_nx³+b_nx²+c_nx，f′_n（x）=3a_nx²+2b_nx+c_n，
則由判別式△＜0，a_n＞0，可得，f′_n（x）＞0恒成立，
則函數f_n（x）都在R上單調遞增，則②對；
③若x₀是函數f_n（x）的極值點，則f_n′（x₀）=3a_nx₀²+2b_nx₀+c_nx₀=0，
∵

an+1

an

=

bn+1

bn

=

cn+1

cn

=q（q＞1，q為常數），n∈N^*，
∴f_n+1′（x₀）=q•（3a_nx₀²+2b_nx₀+c_nx₀）=0，
∴x₀也是函數f_n+1（x）的極值點，則③對；
④由于f′_n（x）=3a_nx²+2b_nx+c_n=0，
若b₁²＞3a₁c₁，則由條件可得4b_n²-12a_nc_n＞0，
則方程有兩個不等的實數根，且在其左右附近導數的符號改變，
∴函數f_n（x）在R上有極值．則④對．
綜上可知，②③④正確．
故選C．

點評：本題考查導數知識的運用，考查數列知識，考查函數的極值，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．