Question

已知雙曲線經過點，且雙曲線的漸近線與圓相切.
（1）求雙曲線的方程；
（2）設是雙曲線的右焦點，是雙曲線的右支上的任意一點，試判斷以為直徑的圓與以雙曲線實軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由.

Answer 1

（1）；（2）外切.

試題分析：（1）利用“點在雙曲線上”以及“雙曲線的漸近線與圓”這兩個條件列兩個方程，求解與，進而確定雙曲線的方程；（2）根據圓與圓的位置關系的判斷方法，考查兩圓連心線的長度與兩圓半徑之間的相互關系，同時注意將點與左焦點連接起來，注意到兩圓圓心分別為與的中點，利用中位線以及雙曲線的定義確定兩圓半徑與連心線長度之間的關系，進而確定兩圓的位置關系.
試題解析：（1）因為雙曲線經過點，所以①.
因為雙曲線的的漸近線與圓相切，
所以圓心到直線的距離等于2，
即，整理得②.
聯立①與②，解得所以雙曲線的方程為．
（2）由（1）得，，所以雙曲線的右焦點為.
設雙曲線的左焦點為，因為點在雙曲線的右支上，
所以，即，
所以.
因為以雙曲線的實軸為直徑的圓的圓心為，半徑為；
以為直徑的圓的圓心為，半徑為，
所以兩圓圓心之間的距離為.
因為，
所以以為直徑的圓與以雙曲線實軸為直徑的圓外切.