Question

 

如圖，三棱柱中，側面底面，,

且,O為中點．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在上是否存在一點，使得平面，若不存在，說明理由；若存在，確定點的位置．

   

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）證明：因為，且O為AC的中點，

所以．             …1分

又由題意可知，平面平面，交線為，且平面，

 所以平面．               …4分

（Ⅱ）如圖，以O為原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．

由題意可知，又;

．

所以得:

則有：     

設平面的一個法向量為，則有

 ，令，得

 所以．            …6分

 ．          

因為直線與平面所成角和向量與所成銳角互余，所以．  …8分

（Ⅲ）設         

即，得

所以得         …10分

 令平面，得 ，           

即得

即存在這樣的點E，E為的中點．            …12分