Question

如圖，已知橢圓的上頂點為,右焦點為,直線與圓相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若不過點的動直線與橢圓相交于、兩點，且求證：直線過定點，并求出該定點的坐標 

 

Answer 1

（Ⅰ）將圓的一般方程化為標準方程

，圓的圓心為,半徑.

由,得直線,

即,          

由直線與圓相切,得,

或(舍去).  -----------------------------------2分

當時, , 

故橢圓的方程為 ---------------------------------4分

（Ⅱ）(方法一)由知,從而直線與坐標軸不垂直,

由可設直線的方程為，

直線的方程為.                                 

將代入橢圓的方程

并整理得: ,-----------------------------------6分

解得或,因此的坐標為,

即  ------------------------------------------8分                        

將上式中的換成,得.     

直線的方程為

化簡得直線的方程為，      

因此直線過定點.     ---------------------------------12分              

 (方法二)由題直線的斜率存在，則可設直線的方程為：

，                

代入橢圓的方程并整理得:

,              

設直線與橢圓相交于、兩點，則是上述關于的方程兩個不相等的實數解，從而

            

由得

，

整理得： 由知.

       此時, 因此直線過定點.