Question

（14分）如圖，已知橢圓的上頂點為，右焦點為，直線與圓相切．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若不過點的動直線與橢圓相交于、兩點，且求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

解析: （Ⅰ）將圓的一般方程化為標準方程 ，

圓的圓心為,半徑. --------------------1分

由,得直線,

即,--------------------2分

由直線與圓相切,得,

或(舍去). -------------------4分                           

當時, ,  故橢圓的方程為-------------------5分

（Ⅱ）設,直線,代入橢圓的方程并整理得: ,   -------6分

設、,則是上述關于的方程兩個不相等的實數解，

   -------8分

  （Ⅱ）(解法一)由知,從而直線與坐標軸不垂直, -----------6分

由可設直線的方程為，直線的方程為----------------7分

將代入橢圓的方程并整理得: ,

解得或,因此的坐標為,即---------9分

將上式中的換成,得.------------------10分

直線的方程為------------------11分

化簡得直線的方程為，------------------13分

因此直線過定點.------------------14分

 (解法二)若直線存在斜率，則可設直線的方程為：， -------1分

代入橢圓的方程并整理得: ,   -------6分

由與橢圓相交于、兩點，則是上述關于的方程兩個不相等的實數解，從而

   -------8分

由得，

整理得： 由知.

此時, 因此直線過定點.-------12分

若直線不存在斜率，則可設直線的方程為：，

將代入橢圓的方程并整理得: ,

當時, ,直線與橢圓不相交于兩點，這與直線與橢圓相交于、兩點產生矛盾!

當時, 直線與橢圓相交于、兩點，是關于的方程的兩個不相等實數解，從而

但,這與產生矛盾! ------13分

因此直線過定點.-------14分

注：對直線不存在斜率的情形，可不做證明.