Question

四面體ABCD中，AB=CD=a+b（其中a，b分別是方程x+lnx=3，x+e^x=3的解），AC=BD=m，AD=BC=n，并且a+b既是m與n的等差中項，又是m與n的等比中項．則四面體ABCD的外接球的表面積為（　　）

• A、27π
• B、

  27

  2

  π
• C、

  27 6

  8

  π
• D、54π

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：空間位置關系與距離

分析：由已知可得a=b=m=3，即四面體ABCD是一個棱長為3的正四面體，此四面體ABCD的四個頂點，是棱長為

3 2

2

的正方體的四個頂點，此四面體的外接球即為此正方體的外接球，由此能求出此四面體的外接球的半徑，再代入面積公式、體積公式計算．

解答：解：∵a，b分別是方程x+lnx=3，x+e^x=3的解，
∴a+lna=3…①，
b+e^b=3…②，
當a+b=3時，a=3-b，
由②得：e^b=3-b，即b=ln（3-b），
此時①：a+lna=3-b+ln（3-b）=3-ln（3-b）+ln（3-b）=3成立，
故a+b=3滿足條件；
又∵a+b既是m與n的等差中項，又是m與n的等比中項，
∴a=b=m=3，
即四面體ABCD是一個棱長為3的正四面體，
此四面體ABCD的四個頂點，是棱長為

3 2

2

的正方體的四個頂點，
此四面體的外接球即為此正方體的外接球，
故球的半徑R滿足：2R=

3 6

2

，
故四面體ABCD的外接球的表面積S=4πR²=

27

2

，
故選：B

點評：本題考查幾何體的接體問題，考查了空間想象能力，其解答的關鍵是根據幾何體的結構特征，求出接體幾何元素的數據，代入面積、體積公式分別求解．