Question

設函數f(x)＝x－xlnx，數列{a_n}滿足0＜a₁＜1，a_n＋1＝f(a_n)．求證：
(1)函數f(x)在區間(0，1)是增函數；
(2)a_n＜a_n＋1＜1.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

(1)f(x)＝x－xlnx，f′(x)＝－lnx，當x∈(0，1)時，f′(x)＝－lnx＞0，故函數f(x)在區間(0，1)上是增函數．
(2)(用數學歸納法)①當n＝1時，0＜a₁＜1，a₁lna₁＜0，a₂＝f(a₁)＝a₁－a₁lna₁＞a₁.
由函數f(x)在區間(0，1)是增函數，且f(1)＝1，得f(x)在區間(0，1)是增函數，a₂＝f(a₁)＝a₁－a₁lna₁＜f(1)＝1，即a₁＜a₂＜1成立．
②假設當n＝k(k∈N^*)時，a_k＜a_k＋1＜1成立，
即0＜a₁≤a_k≤a_k＋1＜1，
那么當n＝k＋1時，由f(x)在區間(0，1]上是增函數，得0＜a₁≤a_k≤a_k＋1＜1，
得f(a_k)＜f(a_k＋1)＜f(1)，而a_n＋1＝f(a_n)，則a_k＋1＝f(a_k)，a_k＋2＝f(a_k＋1)，即a_k＋1＜a_k＋2＜1，也就是說當n＝k＋1時，a_n＜a_n＋1＜1也成立．
由①②可得對任意的正整數n，a_n＜a_n＋1＜1恒成立．