Question

9．已知f（x）是定義在R上的奇函數恒滿足，且對任意實數x恒滿足f（x+2）=-f（x） 當x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²
（1）求證：函數f（x）是周期函數；
（2）當x∈[2，4]，求f（x）的解析式；
（3）計算${∫}_{0}^{4}$f（x）dx 的值．

Answer 1

分析 （1）根據函數周期的定義進行證明即可．
（2）由f（x）最小正周期為4，知當x∈[2，4]時，有f（-x）=f（-x+4），根據奇函數的性質推知f（x）=-f（-x），由此得到f（x）的解析式；
（3）利用定積分的計算公式解答．

解答 （1）證明：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
即函數f（x）是周期為4的周期函數．
（2）解：x∈[2，4]，則-x∈[-2，-4]，-x+4∈[0，2]，
∵函數f（x）是周期為4的周期函數，
∴f（-x）=f（-x+4）=2（4-x）-（4-x）²
又因為f（x）是奇函數，所以f（x）=-f（-x）=x²-6x+8．
（3）解：${∫}_{0}^{4}$f（x）dx
=${∫}_{0}^{2}$（2x-x²）dx+${∫}_{2}^{4}$（x²-6x+8）dx
=（$-\frac{1}{3}$x³+x²）|$\left.\begin{array}{l}{2}\\{0}\end{array}\right.$+（$\frac{1}{3}$x³-3x²+8x）|$\left.\begin{array}{l}{4}\\{2}\end{array}\right.$
=$-\frac{1}{3}$×2³+2²+$\frac{1}{3}$×4³-3×4²+8×4-$\frac{1}{3}$×2³+3×2²-8×2
=0．

點評 本題考查函數的周期性質的應用，是基礎題，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．