Question

【題目】已知函數f（x）=（x﹣3）ex+ax，a∈R． （Ⅰ）當a=1時，求曲線f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當a∈[0，e）時，設函數f（x）在（1，+∞）上的最小值為g（a），求函數g（a）的值域．

Answer 1

【答案】解：由題意得f'（x）=（x﹣2）ex+a，

（Ⅰ）當a=1時，f'（x）=（x﹣2）ex+1，所以f'（2）=1，

又因為f（2）=﹣e2+2，

則所求的切線方程為y﹣（﹣e2+2）=x﹣2，即x﹣y﹣e2=0．

（Ⅱ）設h（x）=f'（x），則h'（x）=（x﹣1）ex＞0對于x＞1成立，

所以h（x）在（1，+∞）上是增函數，又因為a∈[0，e），

則h（1）=﹣e+a＜0，h（2）=a≥0，

所以h（x）在（1，+∞）上有唯一零點x=m（m∈（1，2]）．

則函數f（x）在（1，m）上單調遞減，在（m，+∞）上單調遞增，

因此當a∈[0，e）時，函數f（x）在（1，+∞）上的最小值為f（m）．

因為（m﹣2）em+a=0，則﹣a=（m﹣2）em，當a∈[0，e）時，有m∈（1，2]．

所以函數f（x）有最小值f（m）=（m﹣3）em﹣（m﹣2）mem=（﹣m2+3m﹣3）em，（10分）

令φ（m）=（﹣m2+3m﹣3）em（m∈（1，2]），

則φ'（m）=（﹣m2+m）em＜0在（1，2]上恒成立，所以φ（m）在（1，2]上單調遞減，

因為φ（2）=﹣e2，φ（1）=﹣e，所以φ（m）的值域為[﹣e2，﹣e），

所以g（a）的值域為[﹣e2，﹣e）

【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，計算f（2），f′（2），求出切線方程即可；（Ⅱ）設h（x）=f'（x），得到h（x）在（1，+∞）上有唯一零點x=m（m∈（1，2]），根據函數的單調性求出g（a），從而求出g（a）的值域即可．
【考點精析】通過靈活運用函數的最大(小)值與導數，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值即可以解答此題．