Question

3．已知曲線C在y軸右邊，C上的每一點到點F（1，0）的距離比到y軸的距離多1．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）已知過點M（m，0）（m＞0）的直線l與曲線C有兩交點A，B，若$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$＜0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意：曲線C上的任意點到點F（1，0）的距離等于到直線x=-1的距離，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）設過點M（m，0），（m＞0）的直線l與曲線C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設l的方程為x=ty+m，與拋物線方程聯立，得y²-4ty-4m=0，利用$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$＜0恒成立，由此能求出m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）依題意：曲線C上的任意點到點F（1，0）的距離等于到直線x=-1的距離，
∴曲線C的方程是y²=4x，x＞0．
（Ⅱ）設過點M（m，0），（m＞0）的直線l與曲線C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
設l的方程為x=ty+m，
與拋物線方程聯立，得y²-4ty-4m=0，
△=16t²+16m＞0，y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m，①
又$\overrightarrow{FA}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1，y₂），
∵$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$＜0，∴（x₁-1）（x₂-1）+y₁y₂=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂＜0，②
等價于$\frac{1}{16}$（y₁y₂）+²y₁y₂-$\frac{1}{4}$[（y₁+y₂）²-2y₁y₂]+1＜0
由①式，m²-6m+1-4t²＜0，
∵4t²≥0
∴只需m²-6m+1＜0即可．
即：3-2$\sqrt{2}$＜m＜3+2$\sqrt{2}$，
∴所求m的取值范圍為3-2$\sqrt{2}$＜m＜3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查曲線方程的求法，考查滿足條件的實數是否存在的判斷，解題時要認真審題，注意等價轉化思想和函數方程思想的合理運用．