Question

4．已知函數(shù)f（x）=2a•4^x-2^x-1．
（1）若a=1，求當(dāng)x∈[-3，0]時，函數(shù)f（x）的取值范圍；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=0有實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時，化簡f（x），轉(zhuǎn)為二次函數(shù)求解，x∈[-3，0]時，函數(shù)f（x）的取值范圍；
（2）關(guān)于x的方程2a（2^x）²-2^x-1=0有實數(shù)根，等價于方程2ax²-x-1=0在（0，+∞）上有實數(shù)根．求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：函數(shù)f（x）=2a•4^x-2^x-1，
當(dāng)a=1時，f（x）=2•4^x-2^x-1=2（2^x）²-2^x-1，
令t=2^x，
∵x∈[-3，0]
∴t∈[$\frac{1}{8}$，1]
故y=$2{t}^{2}-t-1=2（t-\frac{1}{4}）^{2}-\frac{9}{8}$，
故得函數(shù)f（x）值域為$[{-\frac{9}{8}，0}]$．
（2）關(guān)于x的方程2a（2^x）²-2^x-1=0有實數(shù)根，等價于方程2ax²-x-1=0在（0，+∞）上有實數(shù)根．
記g（x）=2ax²-x-1，
當(dāng)a=0時，解為：x=-1＜0，不成立；
當(dāng)a＞0時，g（x）的圖象開口向上，對稱軸$x=\frac{1}{4a}$，
∵$\frac{1}{4a}＞0$，
∴g（x）的圖象過點（0，-1），方程2ax²-x-1=0必有一個實數(shù)根為正數(shù)，符合要求．
故a的取值范圍我（0，+∞）．

點評 本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)的運用和關(guān)于含參數(shù)問題的轉(zhuǎn)化計算．屬于中檔題．