Question

14．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-sin\frac{π}{2}x，-3≤x≤0}\\{|lo{g}_{2}x|．x＞0}\end{array}\right.$，若方程f（x）=a有四個不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則x₃（x₁+x₂）+$\frac{1}{{x}_{3}^{2}{x}_{4}}$的取值范圍為（　�。�

• A． （-1，+∞）
• B． （-1，1）
• C． （-∞，1）
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 作出函數f（x），得到x₁，x₂關于x=-1對稱，x₃x₄=1；化簡條件，利用數形結合進行求解即可．

解答 解：作函數f（x）的圖象如右，
∵方程f（x）=a有四個不同的解x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
∴x₁，x₂關于x=-1對稱，即x₁+x₂=-2，
0＜x₃＜1＜x₄，
則|log₂x₃|=|log₂x₄|，
即-log₂x₃=log₂x₄，
則log₂x₃+log₂x₄=0
即log₂x₃x₄=0
則x₃x₄=1；
當|log₂x|=1得x=2或$\frac{1}{2}$，
則1＜x₄＜2；$\frac{1}{2}$＜x₃＜1；
故x₃（x₁+x₂）+$\frac{1}{{x}_{3}^{2}{x}_{4}}$=-2x₃+$\frac{1}{{x}_{3}}$，$\frac{1}{2}$＜x₃＜1；
則函數y=-2x₃+$\frac{1}{{x}_{3}}$，在 $\frac{1}{2}$＜x₃＜1上為減函數，
則故x₃=$\frac{1}{2}$取得最大值，為y=1，
當x₃=1時，函數值為-1．
即函數取值范圍是（-1，1）．
故選：B．

點評 本題考查分段函數的運用，主要考查函數的單調性的運用，運用數形結合的思想方法是解題的關鍵．