Question

3．已知下列函數在x=0處可導，求a和b的值．
y=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x＜0}\\{a+bx，x≥0}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由函數f（x）在點x=0處可導，知函數f（x）在點x=0處連續，然后由e^x的右導數等于ax+b的左導數求得a值，再由連續求得b值．

解答 解：∵函數y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x＜0}\\{a+bx，x≥0}\end{array}\right.$．在點x=0處可導，
∴函數f（x）在點x=0處連續，
f（x）在x=0處可導，則其左右導數均存在且相等，且f（x）在x=0處連續．
ax+b與e^x在x=0處的右導數及左導數均存在．
e^x的左導數為1，
ax+b的右導數為a，故a=1；
由連續知：a×0+b=e⁰=1，即b=1．
故a=1，b=1．

點評 本題考查導數的運算，考查了函數可導與連續的關系，根據昨導數和右導數的關系是解決本題的關鍵．