Question

1．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a₁=b₁=1，a_n+1=a_n+2b_n，b_n+1=a_n+b_n，則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． 只有有限個正整數(shù)n使得a_n＜$\sqrt{2}$b_n
• B． 只有有限個正整數(shù)n使得a_n＞$\sqrt{2}$b_n
• C． 數(shù)列{|a_n-$\sqrt{2}$b_n|}是遞增數(shù)列
• D． 數(shù)列{|$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$-$\sqrt{2}$|}是遞減數(shù)列

Answer 1

分析 根據(jù)題意可設(shè)數(shù)列{a_n-$\sqrt{2}$b_n}，利用定義可證明{a_n-$\sqrt{2}$b_n}是以1-$\sqrt{2}$為首項，以1-$\sqrt{2}$為公比的等比數(shù)列，即可求出通項公式，即可判斷．

解答 解：根據(jù)題意可設(shè)數(shù)列{a_n-$\sqrt{2}$b_n}，
∴a_n+1-$\sqrt{2}$b_n+1=a_n+2b_n-$\sqrt{2}$a_n-$\sqrt{2}$b_n=（1-$\sqrt{2}$）a_n-（1-$\sqrt{2}$）$\sqrt{2}$b_n=（1-$\sqrt{2}$）（a_n-$\sqrt{2}$b_n），
∵a₁=b₁=1，
∴a₁-$\sqrt{2}$b₁=1-$\sqrt{2}$
∴{a_n-$\sqrt{2}$b_n}是以1-$\sqrt{2}$為首項，以1-$\sqrt{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-$\sqrt{2}$b_n=（1-$\sqrt{2}$）ⁿ，
∴A，B不正確，
又公比q=1-$\sqrt{2}$，|q|=$\sqrt{2}$-1＜1，
∴{|a_n-$\sqrt{2}$b_n|}遞減，故C排除，
|$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$-$\sqrt{2}$|=$\frac{1}{{b}_{n}}$•|a_n-$\sqrt{2}$b_n|，易知{a_n}，{b_n}為正數(shù)且遞增，
故{$\frac{1}{{b}_{n}}$}遞減，{|a_n-$\sqrt{2}$b_n|}遞減，、
故D正確．
故選：D

點評 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性和數(shù)列的通項公式，關(guān)鍵是構(gòu)造新數(shù)列，屬于中檔題．