Question

20．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，$\frac{3}{2}$）且離心率e=$\frac{1}{2}$
（1）求橢圓E的方程
（2）若直線l：y=x+m與橢圓E交于相異的兩點P和Q，求實數(shù)m取值范圍．
（3）在（2）的情況下，求△OPQ的面積取得最大時直線l的方程（O為坐標原點）

Answer 1

分析 （1）利用橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，$\frac{3}{2}$）且離心率e=$\frac{1}{2}$，求出a，b，即可求橢圓E的方程
（2）直線l：y=x+m與橢圓E聯(lián)立，可得7x²+8mx+4m-12=0，利用△＞0，求實數(shù)m取值范圍．
（3）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意表示出|PQ|以及點O到直線PQ的距離，從而表示出S_△OPQ，再利用配方法即可得出直線l的方程．

解答 解：（1）∵橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，$\frac{3}{2}$）且離心率e=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）直線l：y=x+m與橢圓E聯(lián)立，可得7x²+8mx+4m-12=0
△=64m²-28（4m²-12）＞0，-$\sqrt{7}$＜m＜$\sqrt{7}$；
（3）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{8m}{7}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{7}$，
∵點O到直線l的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{2}}$，
∴S_△OPQ=$\frac{1}{2}$•d•|PQ|=$\frac{2\sqrt{3}}{7}•\sqrt{-（{m}^{2}-\frac{7}{2}）^{2}+\frac{49}{4}}$≤$\sqrt{3}$，
當且僅當m=$±\frac{\sqrt{14}}{2}$時取等號，且滿足△＞0，
∴△OPQ的面積最大時，直線l的方程為：y=x±$\frac{\sqrt{14}}{2}$．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，直線與橢圓的方程的綜合應用，點到直線的距離公式，三角形的面積公式，考查計算能力，屬于中檔題．