Question

1．已知數列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+2ⁿ-1（n∈N^*，n≥2）且a₁=5．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）若數列$\{\frac{{{a_n}+λ}}{2^n}\}$為等差數列，請求出實數λ；
（3）求數列{a_n}的通項公式及前n項和為S_n．

Answer 1

分析 （1）直接由數列遞推式結合數列首項求得a₂，a₃的值；
（2）由數列$\{\frac{{{a_n}+λ}}{2^n}\}$為等差數列可得$\frac{5+λ}{{{2^{\;}}}}+\frac{33+λ}{8}=\frac{13+λ}{{{2^{\;}}}}$，求解可得λ；
（3）由（2）求得數列$\{\frac{{{a_n}+λ}}{2^n}\}$的通項公式，進一步可得數列{a_n}的通項公式，再由錯位相減法求和．

解答 解：（1）∵${a_n}=2{a_{n-1}}+{2^n}-1$，
∴a₁=5，${a}_{2}=2{a}_{1}+{2}^{2}-1$，得a₂=13，${a}_{3}=2{a}_{2}+{2}^{3}-1$，得a₃=33；
（2）∵$\{\frac{{{a_n}+λ}}{2^n}\}$為等差數列，∴$\frac{{{a_1}+λ}}{{{2^{\;}}}}+\frac{{{a_3}+λ}}{2^3}=2（\frac{{{a_2}+λ}}{2^2}）$，
即$\frac{5+λ}{{{2^{\;}}}}+\frac{33+λ}{8}=\frac{13+λ}{{{2^{\;}}}}$，得λ=32-33=-1；
（3）由（2）得$\frac{{a}_{1}-1}{2}=2，\frac{{a}_{2}-1}{{2}^{2}}=3$，
∴d=1，則$\frac{{{a_n}-1}}{2^n}=\frac{{{a_1}-1}}{2}+（n-1）×1=n+1$，
∴${a_n}=（n+1）{2^n}+1$，
令${T_n}=2×{2^1}+3×{2^2}+…+（n+1）×{2^n}$，
$2{T_n}=2×{2^2}+3×{2^3}+…+（n+1）×{2^{n+1}}$，
∴$-{T_n}=4+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-（n+1）×{2^{n+1}}=-n{2^{n+1}}$，
∴${T_n}=n{2^{n+1}}$，
∴${S_n}=n{2^{n+1}}+n$．

點評 本題考查數列遞推式，考查了等差數列的性質，訓練了錯位相減法求數列的前n項和，是中檔題．