Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n滿足S_n=$\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}{a_1}（{n∈{N^*}}）$，且a₁-1，2a₂，a₃+7成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=2log₉a_n（n∈N^*），求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a_n=S_n-S_n-1可得出{a_n}的遞推公式，于是{a_n}為等比數(shù)列，根據(jù)a₁-1，2a₂，a₃+7成等差數(shù)列解方程計算a₁即可得出a_n；
（2）計算b_n=$\frac{1}{n}$，使用裂項法求和．

解答 解：（1）由${S_n}=\frac{3}{2}{a_n}-\frac{1}{2}{a_1}$得2S_n=3a_n-a₁，由$\left\{{\begin{array}{l}{2{S_n}=3{a_n}-{a_1}}\\{2{S_{n-1}}=3{a_{n-1}}-{a_1}（n≥2）}\end{array}}\right.$，做差得a_n=3a_n-1（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是公比為3的等比數(shù)列，
又a₁-1，2a₂，a₃+7成等差數(shù)列，4a₂=a₁+a₃+6，
即12a₁=a₁+9a₁+6，解得a₁=3，
∴${a_n}={3^n}$．
（2）b_n=2log₉3ⁿ=n，∴$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，裂項法求和，屬于基礎題．