Question

拋物線y²=2px（p＞0）的通徑為BC，準線l與對稱軸交于A，且F為拋物線的焦點
（1）求證：△ABC為等腰直角三角形；
（2）若p=

2

+1，求△ABC內切圓的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：計算題,作圖題,證明題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意作圖，由BC是拋物線y²=2px（p＞0）的通徑可知BC⊥AF，F是BC的中點，且BC=2p；再由AF=p可證；
（2）設△ABC內切圓的半徑為r，則AF=AD+DF=（

2

+1）r=

2

+1；從而求得r=1；從而寫出圓的方程．

解答： 解：（1）證明：如圖，∵BC是拋物線y²=2px（p＞0）的通徑，
∴BC⊥AF，F是BC的中點，且BC=2p；
且準線l與對稱軸交于A，
故AF=p；
故：△ABC為等腰直角三角形；
（2）如圖，設△ABC內切圓的半徑為r，
則DF=r，AD=

2

r；
故AF=AD+DF=（

2

+1）r=

2

+1；
故r=1；
則點D的橫坐標為

2 +1

2

-1=

2 -1

2

；
故點D（

2 -1

2

，0）；
故△ABC內切圓的方程為
（x-

2 -1

2

）²+y²=1．

點評：本題考查了拋物線的性質應用與學生的作圖能力，屬于中檔題．