Question

已知函數f（x）=log₂（2-x）=log₂（x+2）．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并加以證明；
（3）若f（x）＜log₂（ax）在x∈[

1

2

，1]上恒成立，求實數a的范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數的定義域及其求法,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）直接由對數式的真數大于0聯立不等式組得答案；
（2）直接運用奇函數的概念加以判斷證明；
（3）把f（x）＜log₂（ax）在x∈[

1

2

，1]上恒成立轉化為二次函數恒成立問題，然后結合二次函數的對稱軸及單調性列式求解a的范圍．

解答： 解：（1）由f（x）=log₂（2-x）-log₂（x+2）．
要使原函數有意義，則

2-x＞0 x+2＞0

，解得-2＜x＜2．
∴函數f（x）的定義域為（-2，2）；
（2）f（x）為定義域內的奇函數．
事實上，∵f（-x）=log₂（2+x）-log₂（-x+2）=-f（x），
∴f（x）為定義域內的奇函數；
（3）f（x）＜log₂（ax）在x∈[

1

2

，1]上恒成立，
即log₂（2-x）-log₂（x+2）＜log₂（ax）在x∈[

1

2

，1]上恒成立，
也就是h（x）=ax²+（2a+1）x-2＞0在x∈[

1

2

，1]上恒成立，
又∵a＞0，
則有h（

1

2

）=

5

4

a-

3

2

＞0，解得：a＞

6

5

．

點評：本題考查了函數定義域的求法，考查了函數奇偶性的判斷方法，訓練了利用二次函數求解恒成立問題，體現了數學轉化思想方法，是中檔題．