Question

【題目】在一次珠寶展覽會上，某商家展出一套珠寶首飾，第1件首飾是1顆珠寶，第2件首飾是由6顆珠寶構成的如圖1所示的正六邊形，第3件首飾是由15顆珠寶構成的如圖2所示的正六邊形，第4件首飾是由28顆珠寶構成的如圖3所示的正六邊形，第5件首飾是由45顆珠寶構成的如圖4所示的正六邊形，以后每件首飾都在前一件的基礎上，按照這種規(guī)律增加一定數(shù)量的珠寶，使它構成更大的正六邊形，依此推斷：

(1)第6件首飾上應有________顆珠寶；

(2)前n(n∈N*)件首飾所用珠寶總顆數(shù)為________．(結果用n表示)

Answer 1

【答案】 66

【解析】(1)設第n件首飾上的珠寶顆數(shù)為an，則a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，a5＝45，

∵a2－a1＝4×1＋1，a3－a2＝4×2＋1，

a4－a3＝4×3＋1，a5－a4＝4×4＋1，

∴猜想an－an－1＝4(n－1)＋1＝4n－3，

∴推斷a6＝a5＋4×5＋1＝66.

(2)由(1)知an－an－1＝4n－3，

則an－1－an－2＝4(n－1)－3，…，a2－a1＝4×2－3，

以上各式相加得an－a1＝4(n＋n－1＋…＋2)－3(n－1)

＝－3(n－1)

＝2n2－n－1，

∴an＝2n2－n，

則a1＋a2＋…＋an＝2(12＋22＋…＋n2)－(1＋…＋n)

＝2×

＝，

∴前n件首飾所用珠寶總顆數(shù)為，n∈N*.