Question

【題目】已知函數．

（1）求的最小值；

（2）求證：x＞0時， ．

Answer 1

【答案】(1) 當x=ln2時，f（x）有極小值也是最小值為f（ln2）=2（2﹣ln2）；(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）對函數求導，列出表格得到導函數在定義域內的正負情況，從而得到函數的最值。（2）構造函數設（x＞0），研究這個函數的單調性，找到函數的最值，使得函數的最小值大于0即可.

解析：

（1）由f（x）=ex﹣2x+2（x∈R）．得f′（x）=ex﹣2，

令f′（x）=ex﹣2=0得，x=ln2，

列表如下

x		ln2	（ln2，+∞）
	-	0	+
	單調遞減	極小值	單調遞增

故當x=ln2時，f（x）有極小值也是最小值為f（ln2）=2（2﹣ln2）；

（2）證明：設（x＞0），則g′（x）=ex﹣2x+2，

由（1）知g′（x）=ex﹣2x+2有最小值g′（ln2）=2（2﹣ln2），

于是對于x＞0，都有g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上遞增，

而g（0）=0，從而對任意x∈（0，+∞），g（x）＞0，

即x＞0時，ex＞x2﹣2x+1．