Question

已知奇函數(shù)y=f（x），在（0，+∞）上滿足2f（x+1）=f（x），且當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=3^x，則不等式f（x）≥x的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：在（0，+∞）上滿足2f（x+1）=f（x），故f(x)=

1

2

f(x-1)，由此推出f（0）=f（1）=f（2）=0，同理f（3）=0等等，
當(dāng)1＜x＜2時(shí)，易推f（x）=

1

2

×3^x-1，以此類推，可得x在（0，+∞）上的其它區(qū)間上的函數(shù)表達(dá)式，
在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)在（0，+∞）上的圖象，再根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，畫(huà)出函數(shù)在（0，+∞）上的圖象，結(jié)合圖象得出不等式的解．

解答： 解：在（0，+∞）上滿足2f（x+1）=f（x），∴f(x)=

1

2

f(x-1)，
∵f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0，∴f（1）=

1

2

f（0）=0，f（2）=

1

2

f（1）=0，同理f（3）=0等等，
而當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）=

1

2

f（x-1），而0＜x-1＜1，
∵當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=3^x，∴f（x）=

1

2

f（x-1）=

1

2

×3^x-1，
∴當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f（x）=

1

2

×3^x-1，以此類推，可得x在（0，+∞）上的其它區(qū)間上的函數(shù)表達(dá)式，
在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)在（0，+∞）上的圖象，再根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，畫(huà)出函數(shù)在（0，+∞）上的圖象，如下圖：

從圖象知：
要使不等式f（x）≥x成立，x應(yīng)滿足：x∈（-∞，-1]∪[0，1），
故答案為：（-∞，-1]∪[0，1）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)的奇偶性得出整個(gè)圖象，數(shù)形結(jié)合得出自變量的范圍，要注意函數(shù)在端點(diǎn)處的函數(shù)值．