Question

如圖，在四棱錐P‐ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．

求證：（1）PB∥平面AEC；（2）平面PCD⊥平面PAD．

Answer 1

（1）詳證見解析；（2）詳證見解析.

【解析】

試題分析：（1）欲證PB∥平面AEC，根據直線與平面平行的判定定理可知，只需證PB與平面AEC內一直線平行，連接BD交AC于點O，連接EO，根據三角形的中位線定理可知EO∥PB，而EO平面AEC，滿足定理條件；

（2）欲證平面PCD⊥平面PAD，根據面面垂直的判定定理可知在平面PCD內一直線與平面PAD垂直，而PA⊥CD，CD⊥AD，,根據線面垂直的判定定理可知CD⊥平面PAD，得到結論.

試題解析：

（1）證明：連結交于點，連結．

∵為中點，為中點，即為△PBD的中位線，

∴， 4分

∵平面，平面，

∴平面． 7分

（2）證明：∵平面，平面，所以． 9分

∵在正方形中且，

∴平面． 12分

又∵平面，所以平面平面． 14分

考點：（1）直線與平面平行的判定；（2）平面與平面垂直的判定.