Question

9．在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.（φ為參數）$，以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．
（Ⅰ）求圓C的極坐標方程；
（Ⅱ）直線l的極坐標方程是l，射線$OM：θ=\frac{π}{3}$與圓C的交點為O、P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （I）利用cos²φ+sin²φ=1，把圓C的參數方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.（φ為參數）$化為（x-1）²+y²=1，利用互化公式可得極坐標方程．
（II）設（ρ₁，θ₁）為點P的極坐標，由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}=2cos{θ}_{1}}\\{{θ}_{1}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₁．設（ρ₂，θ₂）為點Q的極坐標，由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{2}（sin{θ}_{2}+cos{θ}_{2}）=3\sqrt{3}}\\{{θ}_{2}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₂．由θ₁=θ₂，可得|PQ|=|ρ₁-ρ₂|．

解答 解：（I）利用cos²φ+sin²φ=1，把圓C的參數方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosφ\\ y=sinφ\end{array}\right.（φ為參數）$化為（x-1）²+y²=1，
∴ρ²-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
（II）設（ρ₁，θ₁）為點P的極坐標，由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{1}=2cos{θ}_{1}}\\{{θ}_{1}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₁=1．
設（ρ₂，θ₂）為點Q的極坐標，由$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}_{2}（sin{θ}_{2}+cos{θ}_{2}）=3\sqrt{3}}\\{{θ}_{2}=\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得ρ₂=3．
∵θ₁=θ₂，∴|PQ|=|ρ₁-ρ₂|=2．
∴|PQ|=2．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程、直角標準方程化為極坐標方程及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．