Question

如圖，點A，F分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上頂點和右焦點，直線AF與橢圓交于另一點B，過中心O作直線AF的平行線交橢圓于C，D兩點，若

CD

AB

=

5

2

，則橢圓的離心率為

1

2

．

Answer 1

分析：設出AB，CD的方程，分別與橢圓方程聯立，求導|CD|，|AB|，利用

CD

AB

=

5

2

，即可求得橢圓的離心率．

解答：解：由題意，設AB的方程為：y=-

b

c

x+b，則CD的方程為y=-

b

c

x
AB的方程與橢圓方程聯立可得（a²+c²）x²-2a²cx=0，∴x=0或x=

2a2c

a2+c2

∴|AB|=

1+ b2 c2

×

2a2c

a2+c2

=

2a3

a2+c2

CD的方程與橢圓方程聯立可得（a²+c²）x²=a²c²，∴x=±

ac

a2+c2

∴|CD|=

1+ b2 c2

×

2ac

a2+c2

=

2a2

a2+c2

∵

|CD|

|AB|

=

5

2

∴

2a2 a2+c2

2a3 a2+c2

=

5

2

∴

a2+c2

a

=

5

2

∴e=

c

a

=

1

2

故答案為

1

2

．

點評：本題考查橢圓的離心率，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是求出|CD|，|AB|，屬于中檔題．