Question

如圖，點A，B分別是橢圓

x2

36

+

y2

20

=1的長軸的左右端點，點F為橢圓的右焦點，直線PF的方程為：

3

x+y-4

3

=0且PA⊥PF．
（1）求直線AP的方程；
（2）設點M是橢圓長軸AB上一點，點M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據兩直線垂直，求得AP的斜率，利用橢圓方程求得A的坐標，然后利用點斜式求得直線AP的方程．
（2）設出點M的坐標，利用兩點間的距離公式利用題設建立等式求得m，進而可利用兩點間的距離公式，表示出橢圓上的點到點M的距離d，利用x的范圍和二次函數的單調性求得函數的最小值．

解答：解：（1）由題意得kAP=

3

3

，A的坐標為（-6，0）
則直線AP的方程為：x-

3

y+6=0．
（2）設M（m，0），則

|m+6|

2

=6-m，解得m=2或m=18（舍去），故M（2，0）．
d2=(x-2)2+y2=

4

9

x2-4x+24，x∈[-6，6]，
所以當x=

9

2

時，d_min²=15，即dmin=

15

．

點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，兩點間的距離公式的運用以及二次函數的性質．考查了學生數形結合思想，函數思想的綜合運用．