Question

如圖，點A、B分別是橢圓

x2

36

+

y2

20

=1的長軸的左、右端點，F為橢圓的右焦點，直線PF的方程為

3

x+y-3

2

=0，且PA⊥PF．
（Ⅰ）求直線PA的方程；
（Ⅱ）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到點M的距離d的最小值．

Answer 1

分析：（I）由題設知A（-6，0），直線AP的斜率為

3

3

，從而可得直線AP的方程
（Ⅱ）設M（m，0）（-6≤m≤6）由于M到直線AP的距離等于MB，可得

|m+6|

1+( 3 )2

=|m-6|結合-6≤m≤6，可求m，設P（x，y）是橢圓上任意一點，則

x2

36

+

y2

20

=1．d=

(x-2)2+y2

=

4 9 x2-4x+24

，結合二次函數的性質可求

解答：解：（I）由題設知A（-6，0），B（6，0），直線AP的斜率為

3

3

，…（2分）
直線AP的方程為y=

3

3

(x+6)，即x-

3

y+6=0．…（4分）
（Ⅱ）設M（m，0）（-6≤m≤6），…（5分）
由于M到直線AP的距離等于MB，

|m+6|

1+( 3 )2

=|m-6|．…（6分）
∵-6≤m≤6，∴

m+6

2

=6-m解得m=2，
M的坐標為（2，0）．…（8分）
設P（x，y）是橢圓上任意一點，則

x2

36

+

y2

20

=1．
d=

(x-2)2+y2

=

4 9 x2-4x+24

當x=

9

2

時d 有最小值

15

點評：本題主要考查了直線方程的點斜式在求解直線方程中的應用，結合橢圓的范圍求解二次函數的最值，屬于知識的簡單綜合．