如圖，矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，E，F，M，N分別是矩形四條邊的中點，G，H分別是線段ON，CN的中點．
（1）證明：直線EG與FH的交點L在橢圓W：
上；
（2）設直線l：
與橢圓W：有兩個不同的交點P，Q，直線l與矩形ABCD有兩個不同的交點S，T，求
的最大值及取得最大值時m的值．
（1）證明見解析；（2）
時，取最大值
.
解析試題分析：解題思路：（1）由點寫出直線方程，聯立直線方程得到交點坐標，，驗證點滿足橢圓方程；（2）聯立直線與橢圓的方程，常用“設而不求”的方法，求弦長，進而求所求比值，常用換元法求最值.規律總結：直線與圓錐曲線的位置關系問題，一般綜合性強.一般思路是聯立直線與圓錐曲線的方程，整理得關于
的一元二次方程，常用“設而不求”的方法進行求解.
試題解析：（1）點
，
，
，
，
則直線EG：
，直線FH：
，
則直線EG與FH的交點
，
因為
，故直線EG與FH的交點L在橢圓W：上．
（2）聯立方程組
消去y，得
，
設
，
，則
，
，
由
，且
得．
，由于時，直線l與矩形ABCD的邊AB、CD相交，
所以
，則
，
所以時，取最大值．
考點：直線與橢圓的位置關系.
新編小學單元自測題系列答案
字詞句段篇系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
定義：我們把橢圓的焦距與長軸的長度之比即
，叫做橢圓的離心率.若兩個橢圓的離心率
相同，稱這兩個橢圓相似.
（1）判斷橢圓
與橢圓
是否相似？并說明理由；
（2）若橢圓
與橢圓
相似，求
的值；
（3）設動直線
與（2）中的橢圓
交于
兩點，試探究：在橢圓
上是否存在異于
的定點
，使得直線
的斜率之積為定值？若存在，求出定點的坐標；若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
橢圓
的離心率為
，其左焦點到點
的距離為
．
(1) 求橢圓
的標準方程；
(2) 若直線
與橢圓相交于
兩點(不是左右頂點)，且以
為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線
過定點，并求出該定點的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
=1（a>0，b>0）的離心率與雙曲線
=1的一條漸近線的斜率相等以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線sin
·x+cos·y－l=0相切（為常數）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點M（3，0）的直線與橢圓C相交TA，B兩點，設P為橢圓上一點，且滿足
（O為坐標原點），當
時，求實數t取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，已知拋物線
：
，在此拋物線上一點
到焦點的距離是3.
（1）求此拋物線的方程；
（2）拋物線的準線與
軸交于點，過點斜率為
的直線
與拋物線交于
、
兩點．是否存在這樣的，使得拋物線上總存在點
滿足
，若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，F是中心在原點、焦點在x軸上的橢圓C的右焦點，直線l：x＝4是橢圓C的右準線，F到直線l的距離等于3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P是橢圓C上動點，PM⊥l，垂足為M．是否存在點P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，兩焦點F1，F2之間的距離為2
，橢圓上第一象限內的點P滿足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面積為1．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)若橢圓C的右頂點為A，直線l：y＝kx＋m(k≠0)與橢圓C交于不同的兩點M，N，且滿足AM⊥AN．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標．
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的一個焦點為
，離心率為
.
的標準方程；
為橢圓外一點，且點
到橢圓
是雙曲線
上除頂點外的任意一點，
分別為左、右焦點，
為半焦距，
的內切圓與
切于點
，則
.