Question

定義：我們把橢圓的焦距與長軸的長度之比即，叫做橢圓的離心率.若兩個橢圓的離心率相同，稱這兩個橢圓相似.
（1）判斷橢圓與橢圓是否相似？并說明理由；
（2）若橢圓與橢圓相似，求的值；
（3）設動直線與（2）中的橢圓交于兩點，試探究：在橢圓上是否存在異于的定點，使得直線的斜率之積為定值？若存在，求出定點的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1），相似；（2）；（3），或，.

解析試題分析：（1）掌握好離心率的及時定義即可解決問題；（2）掌握好離心率的及時定義即可解決問題；（3）解析幾何中的定點、定值問題是有一定難度的，這種帶有探究性問題，通常都假設存在，然后去求，若有解則存在，若無解，則不存在，如何求？如何從一個方程中求出多個字母的值，關鍵依賴于對題意的正確理解和運算能力，通過這道題我們也能悟出此類題的一般的解題規律.
試題解析：（1），相似；                                 4分
（2）由，得；                                      8分
（3）設、、、（為常數），將代入，整理得                                          10分
則有  （＊）
由得，即
亦即（＊＊）
將（＊）代入（＊＊）整理得：
             12分
因為對動直線，總要存在定點，所以上式成立與無關，因此必須有                        14分
得，或，.                                    16分
考點：1.橢圓的方程與性質；2.解析幾何中的定點問題的處理.