Question

設橢圓C:的離心率，右焦點到直線1的距離，O為坐標原點.
（1）求橢圓C的方程;
（2）過點O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A、B兩點，證明點O到直線AB的距離為定值，并求弦AB長度的最小值.

Answer 1

(1);(2)．

解析試題分析：
解題思路：(1)利用離心率及點到直線的距離公式求解即可；（2）設出直線方程，聯立直線與橢圓的方程，整理成關于的一元二次方程，利用求解.
規律總結：直線與圓錐曲線的位置關系問題，一般綜合性強.一般思路是聯立直線與圓錐曲線的方程，整理得關于的一元二次方程，常用“設而不求”的方法進行求解.
試題解析：（1）由得，即
由右焦點到直線的距離為
得，解得，
所以橢圓C的方程為.                       
（2）設A B
直線AB的方程為y=kx+m與橢圓聯立消去y得
                          
∵OA⊥OB,

即
                       
整理得                            
所以O到直線AB的距離
∵OA⊥OB，∴
當且僅當OA=OB時取“=”
由得      
.
即弦的長度最小值是.
考點：1.橢圓的標準方程；2.直線與橢圓的位置關系.