Question

設a，b是兩個實數，
A={（x，y）|x=n，y=na+b，n是整數}，
B={（x，y）|x=m，y=3m²+15，m是整數}，
C={（x，y）|x²+y²≤144}，
是平面XOY內的點集合，討論是否存在a和b使得
（1）A∩B≠φ（φ表示空集），
（2）（a，b）∈C
同時成立．

Answer 1

【答案】分析：A、B、C是點的集合，由y=na+b和y=3m²+15想到直線和拋物線．
A∩B≠φ表示直線和拋物線有公共點，
故只需聯力方程，△≥0得a，b的關系式，
再考慮與集合C中x²+y²≤144表示的以原點為圓心，以12為半徑的圓及內部點的關系即可．
解答：解：據題意，知
A={（x，y）|x=n，y=an+b，n∈Z}
B={（x，y）|x=m，y=3m^2+15，m∈Z}
假設存在實數a，b，使得A∩B≠Ø成立，則方程組
y=ax+b
y=3x²+15 有解，且x∈Z．
消去y，方程組化為 3x²-ax+15-b=0．①
∵方程①有解，
∴△=a²-12（15-b）≥0．
∴-a²≤12b-180．②
又由（2），得 a²+b²≤144．③
由②+③，得 b²≤12b-36．
∴（b-6）²≤0
∴b=6．
代入②，得 a²≥108．
代入③，得 a²≤108．
∴a²=108．a=±6√3
將a=±6，b=6代入方程①，得
3x²±6x+9=0．
解之得 x=±，與x∈Z矛盾．
∴不存在實數a，b使（1）（2）同時成立．
點評：此題以集合為背景考查直線和拋物線的位置關系，以及圓等知識，綜合性較強．