Question

已知函數f1(x)=3|x-p1|，f2(x)=2•3|x-p2|（x∈R，p₁，p₂為常數）．函數f（x）定義為：對每個給定的實數x，f(x)=

f1(x) 若f1(x)≤f2(x) f2(x) 若f1(x)＞f2(x)

（1）求f（x）=f₁（x）對所有實數x成立的充分必要條件（用p₁，p₂表示）；
（2）設a，b是兩個實數，滿足a＜b，且p₁，p₂∈（a，b）．若f（a）=f（b），求證：函數f（x）在區間[a，b]上的單調增區間的長度之和為

b-a

2

（閉區間[m，n]的長度定義為n-m）

Answer 1

分析：（1）根據題意，先證充分性：由f（x）的定義可知，f（x）=f₁（x）對所有實數成立，等價于f₁（x）≤f₂（x）對所有實數x成立等價于3|x-p1|≤2•3|x-p2|，即3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2對所有實數x均成立，分析容易得證；再證必要性：3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2對所有實數x均成立等價于3|p1-p2|≤2，即|p₁-p₂|≤log₃2，
（2）分兩種情形討論：①當|p₁-p₂|≤log₃2時，由中值定理及函數的單調性得到函數f（x）在區間[a，b]上的單調增區間的長度；②當|p₁-p₂|＞log₃2時，a，b是兩個實數，滿足a＜b，且p₁，p₂∈（a，b）．若f（a）=f（b），根據圖象和函數的單調性得到函數f（x）在區間[a，b]上的單調增區間的長度．

解答：解：（1）由f（x）的定義可知，f（x）=f₁（x）（對所有實數x）等價于f₁（x）≤f₂（x）（對所有實數x）這又等價于3|x-p1|≤2•3|x-p2|，即3|x-p1|-|x-p2|≤3log32=2對所有實數x均成立．（*）
由于|x-p₁|-|x-p₂|≤|（x-p₁）-（x-p₂）|=|p₁-p₂|（x∈R）的最大值為|p₁-p₂|，
故（*）等價于3|p1-p2|≤2，即|p₁-p₂|≤log₃2，這就是所求的充分必要條件
（2）分兩種情形討論
（i）當|p₁-p₂|≤log₃2時，由（1）知f（x）=f₁（x）（對所有實數x∈[a，b]）
則由f（a）=f（b）及a＜p₁＜b易知p1=

a+b

2

，
再由f1(x)=

3p1-x，x＜p1 3x-p1，x≥p1

的單調性可知，
函數f（x）在區間[a，b]上的單調增區間的長度
為b-

a+b

2

=

b-a

2

（參見示意圖）

（ii）|p₁-p₂|＞log₃2時，不妨設p₁＜p₂，則p₂-p₁＞log₃2，于是
當x≤p₁時，有f1(x)=3p1-x＜3p2-x＜f2(x)，從而f（x）=f₁（x）；
當x≥p₂時，有f1(x)=3x-p1=3p2-p1+x-p2=3p2-p1•3x-p2＞3log32•3x-p2=f2(x)
從而f（x）=f₂（x）；當p₁＜x＜p₂時，f1(x)=3x-p1，及f2(x)=2•3p2-x，由方程3x-p1=2•3p2-x
解得f₁（x）與f₂（x）圖象交點的橫坐標為x0=

p1+p2

2

+

1

2

log32（1）
顯然p1＜x0=p2-

1

2

[(p2-p1)-log32]＜p2，
這表明x₀在p₁與p₂之間．由（1）易知f(x)=

f1(x)，p1≤x≤x0 f2(x)，x0＜x≤p2

綜上可知，在區間[a，b]上，f(x)=

f1(x)，a≤x≤x0 f2(x)，x0＜x≤b

（參見示意圖）

故由函數f₁（x）及f₂（x）的單調性可知，f（x）在區間[a，b]上的單調增區間的長度之和為（x₀-p₁）+（b-p₂），由于f（a）=f（b），即3p1-a=2•3b-p2，得p₁+p₂=a+b+log₃2（2）
故由（1）、（2）得(x0-p1)+(b-p2)=b-

1

2

[p1+p2-log32]=

b-a

2

綜合（i）（ii）可知，f（x）在區間[a，b]上的單調增區間的長度和為

b-a

2

．

點評：考查學生理解充分必要條件的證明方法，用數形結合的數學思想解決問題的能力，以及充分必要條件的證明方法．