Question

1．已知α∈R，則函數f（x）=1-sin²（x+α）+cos（x+α）sin（x+α）的最大值為$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．

Answer 1

分析 化簡f（x）為正弦型函數，根據正弦函數的圖象與性質即可求出f（x）的最大值．

解答 解：函數f（x）=1-sin²（x+α）+cos（x+α）sin（x+α）
=1-$\frac{1-cos2（x+α）}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2（x+α）
=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2（x+α）+$\frac{1}{2}$cos2（x+α）
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin[2（x+α）+$\frac{π}{4}$]
=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+2α+$\frac{π}{4}$）；
當2x+2α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
即x=-α+$\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z時；
f（x）取得最大值為$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$．

點評 本題考查了三角函數的化簡以及正弦函數的圖象與性質的應用問題，是基礎題．