Question

【題目】如圖所示，在四棱錐中，是正三角形，四邊形為直角梯形，點為中點，且，，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點，并連接，先得出為二面角的平面角，進而得到，即可得平面平面；

（2）以點為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量的夾角公式求出兩個法向量夾角的余弦值，進而可得二面角的余弦值.

（1）證：取的中點，并連接.

則據題意可得：

中位線的長為，

且

又因為是正三角形，所以

故：為二面角的平面角

而，

有，即

由定義可知：平面平面

（2）解：由（1）可得：平面，

以點為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系

則，，，

，，

設為平面的法向量，

則有

令可得；同理可得：平面

故：二面角的余弦值為.