Question

【題目】已知圓為圓上任一點.

（1）求的最大值與最小值；

（2）求的最大值與最小值.

Answer 1

【答案】（1）最大值是，最小值是；（2）最大值是，最小值是.

【解析】

（2）試題分析：（1）是圓上的點與點連線的斜率，最大、最小值分別是過點的圓的兩條切線的斜率.設切線的斜率為，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出斜率；（2）令，則，轉化為線性規劃問題求解，平移直線，當直線和圓有公共點時，的范圍即可確定，且最值在直線與圓相切時取得.利用點到直線的距離公式，求得的取值范圍.

試題解析：

（1）顯然可以看作是點與點連線的斜率.令，如圖所示，則其最大、最小值分別是過點的圓的兩條切線的斜率.

對上式整理得，

∴，

∴.

故的最大值是，最小值是.

（3）令，則可視為一組平行線，當直線和圓有公共點時，的范圍即可確定，且最值在直線與圓相切時取得.

依題意，得，取得，

故的最大值是，最小值是.