Question

5．已知f（x）=ax³+bx²+cx+d與x軸有3個交點（0，0），（x₁，0），（x₂，0），且f（x）在x=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，x=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$時取極值，則x₁•x₂的值為（　　）

• A． 4
• B． 2
• C． 6
• D． 不確定

Answer 1

分析 由f（0）=0，可得d=0．f′（x）=3ax²+2bx+c．根據f（x）在x=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，x=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$時取極值，可得f′（$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$）=0，f′（$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$）=0，又f（x）=x（ax²+bx+c），可得f（x₁）=f（x₂）=0，x₁，x₂≠0．可得x₁x₂=$\frac{c}{a}$．

解答 解：∵f（0）=0，∴d=0．
f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵f（x）在x=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，x=$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$時取極值，
∴f′（$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$）=0，f′（$\frac{3+\sqrt{3}}{3}$）=0，
a≠0，可得2×$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$+3=0，4×$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}$+12=0，解得：$\frac{c}{a}$=6，
又f（x）=x（ax²+bx+c），
f（x₁）=f（x₂）=0，x₁，x₂≠0．
∴x₁x₂=$\frac{c}{a}$=6．
故選：C．

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．