Question

【題目】已知橢圓的離心率為，過定點的直線l與橢圓E相交于A，B兩點，C為橢圓的左頂點，當直線l過點時，（O為坐標原點）的面積為．

（1）求橢圓E的方程；

（2）求證：當直線l不過C點時，為定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）為定值.

【解析】

（1）根據題意可得，設，，由，得代入橢圓方程可得，進而可得橢圓的方程；

（2）根據題意，設，，直線的方程為，聯立方程，經計算可得，即可得到為定值.

（1）由題意，設，，直線的方程為，

由，即，

將點代入中，得，故，

又點在橢圓上，解得，

因橢圓的離心率，故，，

所以，橢圓的方程為.

（2）由題意，設直線的方程為，設，，

聯立，消去得，

所以，，

當直線不過時，直線的斜率，直線的斜率，

所以，

即直線與直線垂直，故為定值.