Question

【題目】隨著現(xiàn)代電子技術(shù)的迅猛發(fā)展，關(guān)于元件和系統(tǒng)可靠性的研究已發(fā)展成為一門(mén)新的學(xué)科——可靠性理論．在可靠性理論中，一個(gè)元件正常工作的概率稱(chēng)為該元件的可靠性．元件組成系統(tǒng)，系統(tǒng)正常工作的概率稱(chēng)為該系統(tǒng)的可靠性．現(xiàn)有（，）種電子元件，每種2個(gè)，每個(gè)元件的可靠性均為（）．當(dāng)某元件不能正常工作時(shí)，該元件在電路中將形成斷路．現(xiàn)要用這個(gè)元件組成一個(gè)電路系統(tǒng)，有如下兩種連接方案可供選擇，當(dāng)且僅當(dāng)從A到B的電路為通路狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)正常工作．

（1）（i）分別寫(xiě)出按方案①和方案②建立的電路系統(tǒng)的可靠性、（用和表示）；

（ii）比較與的大小，說(shuō)明哪種連接方案更穩(wěn)定可靠；

（2）設(shè)，，已知按方案②建立的電路系統(tǒng)可以正常工作，記此時(shí)系統(tǒng)中損壞的元件個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】（1）（i），（ii），按方案②建立的電路系統(tǒng)更穩(wěn)定可靠．（2）見(jiàn)解析，

【解析】

（1）（i）利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算，個(gè)元件串聯(lián)通路的概率是，而個(gè)元件并聯(lián)時(shí)不通的概率是，由此可計(jì)算可計(jì)算方案①和方案②建立的電路系統(tǒng)的可靠性、；（ii）作差后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得其單調(diào)性從而得與的大小，得出結(jié)論；

（2）在方案②電路系統(tǒng)可以正常工作的條件下，元件損壞的概率是條件概率，可計(jì)算編號(hào)相同的兩個(gè)并聯(lián)元件中至多有一個(gè)損壞，且有一個(gè)損壞的條件概率為，由此可知，，依次計(jì)算出各概率，得分布列，再由二項(xiàng)分布計(jì)算出期望．

解：（1）（i）按方案①建立的電路系統(tǒng)的可靠性；

按方案②建立的電路系統(tǒng)的可靠性為；

（ii）．

令，且，則．

當(dāng)時(shí)，，從而，所以在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，即．

所以，，按方案②建立的電路系統(tǒng)更穩(wěn)定可靠．

（2）在方案②電路系統(tǒng)可以正常工作的條件下，編號(hào)相同的兩個(gè)并聯(lián)元件中至多有一個(gè)損壞，且有一個(gè)損壞的條件概率為，由此可知，．

，，，

，；

所以，隨機(jī)變量的分布列為

	0	1	2	3	4

．