(本小題滿分12分)
如圖，四棱錐
中，
為矩形，平面
平面.
求證：
若
問
為何值時，四棱錐的體積最大？并求此時平面
與平面
夾角的余弦值.
（1）詳見解析，（2）
時，四棱錐的體積P-ABCD最大. 平面BPC與平面DPC夾角的余弦值為
解析試題分析：（1）先將面面垂直轉化為線面垂直：ABCD為矩形，故AB
AD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD
平面ABCD=AD，所以AB平面PAD，再根據線面垂直證線線垂直：因為PD
平面PAD，所以ABPD
（2）求四棱錐體積，關鍵要作出高.這可利用面面垂直性質定理：過P作AD的垂線，垂足為O，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以PO平面ABCD，下面用
表示高及底面積：設
，則
，故四棱錐P-ABCD的體積為
故當
時，即時，四棱錐的體積P-ABCD最大.
求二面角的余弦值，可利用空間向量求解，根據題意可建立空間坐標系，分別求出平面BPC的法向量及
平面DPC的法向量，再利用向量數量積求夾角余弦值即可.
試題解析：（1）證明：ABCD為矩形，故ABAD，
又平面PAD平面ABCD
平面PAD平面ABCD=AD
所以AB平面PAD，因為PD平面PAD，故ABPD
（2）解：過P作AD的垂線，垂足為O，過O作BC的垂線，垂足為G，連接PG.
故PO平面ABCD，BC平面POG,BCPG
在直角三角形BPC中，
設，則，故四棱錐P-ABCD的體積為
因為
故當時，即時，四棱錐的體積P-ABCD最大.
建立如圖所示的空間直角坐標系，
故
設平面BPC的法向量
，則由
,
得
解得
同理可求出平面DPC的法向量
，從而平面BPC與平面DPC夾角
的余弦值為
考點：面面垂直性質定理，四棱錐體積，利用空間向量求二面角
海淀黃岡名師導航系列答案
普通高中同步練習冊系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在直三棱柱中
-A BC中，AB 
AC， AB=AC=2，
=4，點D是BC的中點．
（1）求異面直線
與
所成角的余弦值；
（2）求平面
與
所成二面角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，點A1在平面ABC內的射影D在AC上，∠ACB=90
，BC=1，AC=CC1=2.
(1)證明：AC1⊥A1B;
(2)設直線AA1與平面BCC1B1的距離為
，求二面角A1-AB-C的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，
，
為圓柱
的母線，
是底面圓
的直徑，
，
分別是，
的中點，
．
（1）證明：
；
（2）證明：
；
（3）假設這是個大容器，有條體積可以忽略不計的小魚能在容器的任意地方游弋，如果魚游到四棱錐
內會有被捕的危險，求魚被捕的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（2011•浙江）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=AC，D為BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2
（1）證明：AP⊥BC；
（2）在線段AP上是否存在點M，使得二面角A﹣MC﹣β為直二面角？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由．
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，BC=，求二面角S-AB-C的余弦值.
中，點
分別是棱
的中點． 
//平面
；
平面
，
，求證：
．
與平面
相交，直線
是平面
，則直線