Question

4．已知a=${∫}_{\frac{1}{e}}^{e}$${\frac{1}{x}$dx，則二項式（1-$\frac{a}{x}}$）⁵的展開式中x^-3的系數為-80．

Answer 1

分析 a=${∫}_{\frac{1}{e}}^{e}$${\frac{1}{x}$dx=$lnx{|}_{\frac{1}{e}}^{e}$=2，再利用二項式定理的通項公式即可得出．

解答 解：a=${∫}_{\frac{1}{e}}^{e}$${\frac{1}{x}$dx=$lnx{|}_{\frac{1}{e}}^{e}$=2，
則二項式（1-$\frac{a}{x}}$）⁵=$（1-\frac{2}{x}）^{5}$的展開式的通項：T_r+1=${∁}_{5}^{r}（-\frac{2}{x}）^{5-r}$=（-2）^5-r${∁}_{5}^{r}$x^r-5．
令r-5=-3，解得r=2．
∴展開式中x^-3的系數=$（-2）^{3}×{∁}_{5}^{2}$=-80．
故答案為：-80．

點評 本題考查了微積分基本定理、二項式定理的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．