Question

19．葫蘆島市有4個重要旅游景點：a是葫蘆山莊，b是興城古城，c是菊花島，d是九門口，現有A，B，C，D四位游客來葫游玩．
（1）假定他們每人只游覽一個景點，且游覽每個景點都是隨機的．求四人游覽同一景點的概率；
（2）假定原計劃A只游覽a，B只游覽b，C只游覽c，D只游覽d．
①在（1）之下，求這四人恰有兩人完成原計劃的概率；
②若每人只游覽一個景點，每個景點只能一人游覽，
求這四人至少有一人完成原計劃的概率．

Answer 1

分析 （1）依題意知這四人隨意游覽四個景區的所有可能種數是n=4⁴=256種，若四人游覽同一景點，由只有4種可能，由此能求出這四人恰有兩人完成原計劃的概率．
（2）①依題意知這四人隨意游覽四個景點的所有可能種數是n=256種，若四人中只有兩人完成原計劃，由不同可能種數是m₂=6×9=54種，由此能求出每人只游覽一個景點，每個景點只能一人游覽．
②若每個景點只能一人游覽，則所有可能種數是${n}_{1}={A}_{4}^{4}$=24種，至少有一人完成原計劃的對立事件是這四人沒有任何一人完成原計劃，由此能求出這四人至少有一人完成原計劃的概率．

解答 解：（1）依題意知這四人隨意游覽四個景區的所有可能種數是拿n=4⁴=256種，
若四人游覽同一景點，由只有4種可能，
∴四人游覽同一景點的概率p₁=$\frac{4}{256}=\frac{1}{64}$．
（2）①依題意知這四人隨意游覽四個景點的所有可能種數是n=256種，
若四人中只有兩人完成原計劃，由不同可能種數是m₂=6×9=54種，
∴這四人恰有兩人完成原計劃的概率p₂=$\frac{{m}_{2}}{n}$=$\frac{54}{256}=\frac{27}{128}$．
②若每個景點只能一人游覽，則所有可能種數是${n}_{1}={A}_{4}^{4}$=24種，
至少有一人完成原計劃的對立事件是這四人沒有任何一人完成原計劃，
而沒有任何一人完成原計劃的不同可能為9種，
∴這四人至少有一人完成原計劃的概率p₃=1-$\frac{9}{24}=\frac{5}{8}$．

點評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．