Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+4}{x}$；
（1）證明f（x）為奇函數(shù)；
（2）證明f（x）在區(qū)間（0，2）上為減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的定義即可證明，
（2）根據(jù)單調(diào)性的定義即可證明．

解答 證明：（1）f（x）的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞），
f（-x）=$\frac{{x}^{2}+4}{-x}$=-f（x），
故函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）f（x）=x+$\frac{4}{x}$，
設(shè)x₁，x₂∈（0，2），且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）+4（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）+$\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=（x₁-x₂）（1-$\frac{4}{{x}_{1}•{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）$\frac{{x}_{1}•{x}_{2}-4}{{x}_{1}•{x}_{2}}$，
∵0＜x₁＜x₂＜2，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，x₁x₂＜4，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在區(qū)間（0，2）上為減函數(shù)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的證明，掌握定義是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．