Question

（2013•四川）設函數f(x)=

ex+x-a

（a∈R，e為自然對數的底數），若曲線y=sinx上存在點（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，則a的取值范圍是（　　）

A．[1，e]

B．[e^-1-1，1]

C．[1，e+1]

D．[e^-1-1，e+1]

Answer 1

分析：考查題設中的條件，函數f（f（y₀））的解析式不易得出，直接求最值有困難，考察四個選項，發現有兩個特值區分開了四個選項，0出現在了B，D兩個選項的范圍中，e+1出現在了C，D兩個選項所給的范圍中，故可通過驗證參數為0與e+1時是否符合題意判斷出正確選項

解答：解：曲線y=sinx上存在點（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，則y₀∈[-1，1]
考查四個選項，B，D兩個選項中參數值都可取0，C，D兩個選項中參數都可取e+1，A，B，C，D四個選項參數都可取1，由此可先驗證參數為0與e+1時是否符合題意，即可得出正確選項
當a=0時，f(x)=

ex+x

，此是一個增函數，且函數值恒非負，故只研究y₀∈[0，1]時f（f（y₀））=y₀是否成立
由于f(x)=

ex+x

是一個增函數，可得出f（y₀）≥f（0）=1，而f（1）=

e+1

＞1，故a=0不合題意，由此知B，D兩個選項不正確
當a=e+1時，f(x)=

ex+x-e-1

此函數是一個增函數，f(1)=

e1+1-e-1

=0，而f（0）沒有意義，故a=e+1不合題意，故C，D兩個選項不正確
綜上討論知，可確定B，C，D三個選項不正確，故A選項正確
故選A

點評：本題是一個函數綜合題，解題的關鍵與切入點是觀察出四個選項中同與不同點，判斷出參數0與e+1是兩個特殊值，結合排除法做題的技巧及函數的性質判斷出正確選項，本題考查了轉化的思想，觀察探究的能力，屬于考查能力的綜合題，易因為找不到入手處致使無法解答失分，易錯