Question

13．若函數f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象關于直線x=$\frac{π}{12}$對稱，當x₁，x₂∈（-$\frac{17}{12}$π，-$\frac{2π}{3}$），x₁≠x₂時，f（x₁）=f（x₂），則f（x₁+x₂）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意利用正弦函數的圖象的對稱性，求得φ值，可得函數的解析式，再根據當x₁，x₂∈（-$\frac{17}{12}$π，-$\frac{2π}{3}$），x₁≠x₂時，f（x₁）=f（x₂），可得函數f（x）的圖象關于直線x=-$\frac{11π}{12}$ 對稱，可得$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=-$\frac{11π}{12}$，由此求得f（x₁+x₂）的值．

解答 解：函數f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的周期為$\frac{2π}{2}$=π，它的圖象關于直線x=$\frac{π}{12}$對稱，
∴$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{3}$，故該函數的解析式為f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$ ）．
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，故f（x）圖象的對稱軸為x=k•$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z．
又當x₁，x₂∈（-$\frac{17}{12}$π，-$\frac{2π}{3}$），x₁≠x₂時，f（x₁）=f（x₂），故函數f（x）的圖象關于直線x=-$\frac{11π}{12}$ 對稱，
即$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=-$\frac{11π}{12}$，則f（x₁+x₂）=f（-$\frac{11π}{6}$）=f（$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題主要考查正弦函數的圖象的對稱性，屬于中檔題．