Question

【題目】如圖，在三棱錐 中， ,平面 平面 ， 、 分別為 、 的中點．

（1）求證： 平面 ；
（2）求證： ；
（3）求三棱錐 的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點，∴DE∥BC.
∵DE平面PBC且BC平面PBC ， ∴DE∥平面PBC
（2）證明：連接PD.∵PA＝PB ， D為AB的中點，

∴PD⊥AB.
∵DE∥BC ， BC⊥AB ， ∴DE⊥AB.又∵PD、DE是平面PDE內的相交直線，
∴AB⊥平面PDE.
∵PE平面PDE ， ∴AB⊥PE.
（3）解：∵PD⊥AB ， 平面PAB⊥平面ABC ， 平面PAB∩平面ABC＝AB ，
∴PD⊥平面ABC ， 可得PD是三棱錐P－BEC的高．
又∵ ，
【解析】（Ⅰ）由三角形中位線定理可得DE∥BC，進而由線面平行的判定定理得到DE∥平面PBC;
（II）連接PD，由等腰三角形三線合一，可得PD⊥AB，由DE∥BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，進而由線面垂直的判定定理得到AB⊥平面PDE，再由線面垂直的性質得到AB⊥PE；
（III）由平面與平面垂直性質定理，證出直線PD⊥平面ABC，得到PD是三棱錐P-BEC的高．再利用錐體體積公式求出三棱錐P-BEC的體積，即得答案.