Question

已知f₁（x）=e^xsinx，f_n（x）=f'_n-1（x），n≥2，則=    ．

Answer 1

【答案】分析：利用乘積的導數的運算法則求出前幾個f_n（0）值，觀察歸納得到一個等比數列，利用等比數列的前n項和公式求出值．
解答：解：∵f₁（x）=e^xsinx
∴f₂（x）=e^xsinx+e^xcosx
f₃（x）=2e^xcosx
f₄（x）=2e^xcosx-2e^xsinx
f₅（x）=-4e^xsinx=-4f₁（x）
f₆（x）=-4f₂（x）
…
f₁（0）=0；f₂（0）=1；f₃（0）=2；f₄（0）=2；f₅（0）=0；f₆（0）=-4；f₇（0）=-8；f₈（0）=-8…
歸納得每四個的和構成一個5為首項，以-4為公比的等比數列
∴=+f₂₀₀₉（0）=1-4⁵⁰²
故答案為：1-4⁵⁰²
點評：本題考查利用不完全歸納找規律；等比數列的前n項和公式．