Question

17．將函數f（x）=sinx+$\sqrt{3}$cosx的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位，所得圖象關于原點對稱，則φ的最小值為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 根據輔助角公式，化簡函數得y=2sin（x+$\frac{π}{3}$），從而得出平移后的圖象對應的函數為y=2sin（x+$\frac{π}{3}$-φ）．由平移后的圖象關于原點對稱，根據正弦函數的圖象與性質得到$\frac{π}{3}$-φ=kπ（k∈Z），再取k=0得到φ的最小正值為$\frac{π}{3}$．

解答 解：y=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2（sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
將函數的圖象向右平移φ（φ＞0）個單位長度后，得到y=2sin[（x-φ）+$\frac{π}{3}$]=2sin（x+$\frac{π}{3}$-φ）的圖象．
∵平移后得到的圖象關于坐標原點對稱，
∴$\frac{π}{3}$-φ=kπ（k∈Z），可得φ=$\frac{π}{3}$-kπ（k∈Z），
取k=0，得到φ的最小正值為$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題給出三角函數表達式，已知函數圖象右移φ個單位個圖象關于原點對稱，求平移的最小長度．著重考查了三角恒等變換公式、正弦函數的圖象與性質和函數圖象平移公式等知識，屬于中檔題．