Question

已知圓C₁：x²+y²=1與圓C₂：（x-2）²+（y-4）²=5，過動點 P（a，b）分別作圓C₁，圓C₂的切線PM，PN（ M、N分別為切點），若PM=PN，則（a-5）²+（b+1）²的最小值是

 

．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：根據條件PM=PN，求出P的軌跡方程，（a-5）²+（b+1）²的幾何意義為P到定點（5，-1）的距離的平方，即可得到結論．

解答： 解：∵過動點 P（a，b）分別作圓C₁，圓C₂的切線PM，PN（ M、N分別為切點），若PM=PN，
∴|PC₁|²-1=|PC₂|²-5，
即a²+b²-1=（a-2）²+（b-4）²-5，
即a+2b-4=0，即動點P（a，b）在直線x+2y-4=0上，
（a-5）²+（b+1）²的幾何意義為P到定點（5，-1）的距離的平方，
則點（5，-1）到直線x+2y-4=0的距離為

|5+2×(-1)-4|

1+22

=

5

5

，
故（a-5）²+（b+1）²的最小值為

1

5

，
故答案為：

1

5

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，以及點到直線的距離公式的應用，利用距離的幾何意義是解決本題的關鍵．