Question

設f（x）在R上單調的是奇函數，若f（k•log₂t）+f（log₂t-log₂²t-2）＞0，?t＞0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：依題意，可得f（k•log₂t）＞f（log₂²t-log₂t+2），由f（0）＞f（2），f（x）在R上為單調的函數，可知f（x）在R上為單調遞減的函數，從而可脫去外層函數的“外衣”，利用二次函數的性質，即可求得實數k的取值范圍．

解答： 解：依題意，得：f（k•log₂t）＞-f（log₂t-log₂²t-2）=f（log₂²t-log₂t+2），
令t=1，則f（0）＞f（2），由于f（x）在R上為單調的函數，
所以，f（x）在R上為單調遞減的函數，
所以k•log₂t＜log₂²t-log₂t+2，即log₂²t-（k+1）log₂t+2＞0恒成立，
所以，△=（k+1）²-4×1×2＜0，解得：-2

2

-1＜k＜2

2

-1．
故實數k的取值范圍為（-2

2

-1，2

2

-1）．

點評：本題考查函數恒成立問題，依題意，分析得到f（x）在R上為單調遞減的函數是關鍵，考查二次函數的性質與應用，屬于中檔題．