Question

已知A為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的一個動點，直線AB，AC分別過焦點F₁，F₂，且與橢圓交于B，C兩點，若當AC⊥x軸時，恰好有|AF₁|：|AF₂|=3：1，則該橢圓的離心率為（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  2

  2

• C、

  3

  3

• D、

  1

  3

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由橢圓方程求出|AF₂|的長，結合橢圓定義求得|AF₁|，再由|AF₁|：|AF₂|=3：1列式求得橢圓的離心率．

解答： 解：橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的右焦點橫坐標為c，不妨設A為橢圓在第一象限的點，
當AC⊥x軸時，由

x2

a2

+

y2

b2

=1，得

y2

b2

=1-

x2

a2

=1-

c2

a2

=

a2-c2

a2

=

b2

a2

，
∴yA=

b2

a

．
即|AF₂|=

b2

a

，由橢圓定義得，|AF₁|=2a-

b2

a

，
又|AF₁|：|AF₂|=3：1，得

2a- b2 a

b2 a

=3，即a²=2b²=2（a²-c²），
∴

c

a

=

2

2

．
故選：B．

點評：本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了橢圓的定義，是基礎題．